爱因斯坦场方程是广义相对论的核心方程，它将时空几何与物质-能量分布联系起来（真空中 G_μν = 0）：
$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, T_{\mu\nu}$$
G_μν 为爱因斯坦张量，Λ 为宇宙学常数，T_μν 为能量-动量张量；黑洞演化通常只需考虑真空情形
3+1 分解与 ADM 度规
3+1 分解与 ADM 度规
对四维时空做 3+1 分解，三维空间度规 γ_ij、lapse 函数 α 与 shift 矢量 β^i 共同描述时空几何：
$$ds^{2} = -\alpha^{2}dt^{2} + \gamma_{ij}\left(dx^{i} + \beta^{i}dt\right)\left(dx^{j} + \beta^{j}dt\right)$$
约束方程
约束方程
Einstein 方程在 3+1 分解下 split 为约束方程与演化方程。约束方程必须在每一个空间切片上都被满足（真空中）：
$$R^{(3)} + K^{2} - K_{ij}K^{ij} = 0$$
$$D_{j}\left(K^{ij} - \gamma^{ij}K\right) = 0$$
Hamilton 约束（能量约束）与动量约束：它们约束初始切片上的三维度规 γ_ij 与外曲率 K_ij
ADM 演化方程
ADM 演化方程
最直接的演化方程是 ADM 形式，它给出三维度规与外曲率随坐标时间的发展（真空中）：
$$\partial_{t}\gamma_{ij} = -2\alpha K_{ij} + \mathcal{L}_{\beta}\gamma_{ij}$$
$$\partial_{t}K_{ij} = -D_{i}D_{j}\alpha + \alpha\left(R_{ij} - 2K_{ik}K^{k}_{\ j} + K K_{ij}\right) + \mathcal{L}_{\beta}K_{ij}$$
α 为 lapse 函数，β 为 shift 矢量，ℒ_β 为沿 β 的李导数（真空中）
然而 ADM 方程在数值上长期不稳定：约束不被精确维持，约束违反会在演化中不断累积并快速增长，方程本身也不满足已知的双曲性条件——直接用 ADM 方程模拟双黑洞并合等强场过程，数值演化会在很短时间内崩溃。因此，现代数值相对论改用数值稳定性更好的形式：BSSN 方程与 Z4c 方程。
BSSN 共形迹离分解
BSSN 共形迹离分解
BSSN 将 ADM 变量改写为共形迹离（conformal traceless）组合，并引入共形联络函数 Γ̃^i，使约束传播模式转化为类波演化：
$$\phi \equiv \frac{1}{12}\ln\gamma, \qquad
\tilde{\gamma}_{ij} \equiv e^{-4\phi}\gamma_{ij}, \qquad
\det(\tilde{\gamma}_{ij}) = 1$$
$$K \equiv \gamma^{ij}K_{ij}, \qquad
\tilde{A}_{ij} \equiv e^{-4\phi}\left(K_{ij} - \frac{1}{3}\gamma_{ij}K\right), \qquad
\tilde{\gamma}^{ij}\tilde{A}_{ij} = 0$$
$$\tilde{\Gamma}^{i} \equiv -\partial_{j}\tilde{\gamma}^{ij}$$
共形分解：φ 为共形因子，γ̃_ij 的行列式为 1，Ã_ij 无迹；Γ̃^i 为共形联络函数
BSSN 演化方程
BSSN 演化方程
将上述变量代入 Einstein 演化方程，得到 BSSN 形式的演化方程组（AMSS-NCKU 程序采用的形式，真空中）：
$$\partial_{t}\phi = \beta^{i}\partial_{i}\phi - \frac{1}{6}\alpha K + \frac{1}{6}\partial_{i}\beta^{i}$$
$$\partial_{t}\tilde{\gamma}_{ij} = \beta^{k}\partial_{k}\tilde{\gamma}_{ij} - 2\alpha\tilde{A}_{ij}
+ \tilde{\gamma}_{ki}\partial_{j}\beta^{k} + \tilde{\gamma}_{kj}\partial_{i}\beta^{k}
- \frac{2}{3}\tilde{\gamma}_{ij}\partial_{k}\beta^{k}$$
$$\partial_{t}K = \beta^{i}\partial_{i}K - D^{i}D_{i}\alpha
+ \alpha\left(\tilde{A}_{ij}\tilde{A}^{ij} + \frac{1}{3}K^{2}\right)$$
$$\partial_{t}\tilde{A}_{ij} = \beta^{k}\partial_{k}\tilde{A}_{ij}
+ e^{-4\phi}\left[\alpha R_{ij} - D_{i}D_{j}\alpha\right]^{\mathrm{TF}}
+ \alpha\left(K\tilde{A}_{ij} - 2\tilde{A}_{ik}\tilde{A}^{k}_{\ j}\right)
+ \tilde{A}_{ki}\partial_{j}\beta^{k} + \tilde{A}_{kj}\partial_{i}\beta^{k}
- \frac{2}{3}\tilde{A}_{ij}\partial_{k}\beta^{k}$$
$$\partial_{t}\tilde{\Gamma}^{i} = \beta^{j}\partial_{j}\tilde{\Gamma}^{i}
- 2\tilde{A}^{ij}\partial_{j}\alpha
+ 2\alpha\left(\tilde{\Gamma}^{i}_{jk}\tilde{A}^{kj}
- \frac{2}{3}\tilde{\gamma}^{ij}\partial_{j}K
+ 6\tilde{A}^{ij}\partial_{j}\phi\right)
- \tilde{\Gamma}^{j}\partial_{j}\beta^{i}
+ \frac{2}{3}\tilde{\Gamma}^{i}\partial_{j}\beta^{j}
+ \frac{1}{3}\tilde{\gamma}^{ij}\partial_{j}\partial_{k}\beta^{k}
+ \tilde{\gamma}^{jk}\partial_{j}\partial_{k}\beta^{i}$$
$$R_{ij} = \tilde{R}_{ij} + R^{\phi}_{ij}$$
$$\tilde{R}_{ij} = -\frac{1}{2}\tilde{\gamma}^{mn}\partial_{m}\partial_{n}\tilde{\gamma}_{ij}
+ \tilde{\gamma}_{k(i}\partial_{j)}\tilde{\Gamma}^{k}
+ \tilde{\Gamma}^{k}\tilde{\Gamma}_{(ij)k}
+ \tilde{\gamma}^{mn}\left(2\tilde{\Gamma}^{k}_{m(i}\tilde{\Gamma}_{j)kn}
+ \tilde{\Gamma}^{k}_{in}\tilde{\Gamma}_{kmj}\right)$$
$$R^{\phi}_{ij} = -2\tilde{D}_{i}\tilde{D}_{j}\phi
- 2\tilde{\gamma}_{ij}\tilde{D}^{k}\tilde{D}_{k}\phi
+ 4\tilde{D}_{i}\phi\,\tilde{D}_{j}\phi
- 4\tilde{\gamma}_{ij}\tilde{D}^{k}\phi\,\tilde{D}_{k}\phi$$
真空情形（物质项 ρ、s、s_i、s_ij 已略去）；D_i、D̃_i 分别为与 γ_ij、γ̃_ij 相容的协变导数，[·]^TF 表示取迹减部分；Ricci 张量按上两式分解为共形部分 R̃_ij 与共形因子部分 R^φ_ij
BSSN 将约束传播模式改写为类双曲形式并配合移动穿刺规范（1+log slicing 与 Gamma-driver shift），可实现双黑洞长达数千 M 的稳定演化。
Z4c 约束阻尼
Z4c 约束阻尼
Z4c 在 BSSN 基础上显式引入约束传播场 Θ 与约束阻尼项，使约束违反以波动形式传播并指数衰减——这正是针对 ADM 形式约束违反累积问题给出的解药。AMSS-NCKU 实现的 Z4c 形式显著提高了计算精度与数值稳定性，在双黑洞并合等强场问题中表现优异。
扩展形式与数值方法
扩展形式与数值方法
除标准 BSSN 与 Z4c 外，程序还支持 BSSN-EM（与 Maxwell 电磁场耦合）与 BSSN-EScalar（与 F(R) 引力的标量场耦合）。空间离散采用 2/4/6/8 阶有限差分格式，时间积分采用 Runge-Kutta 方法，并辅以 Kreiss–Oliger 数值耗散抑制高频噪声，确保长时间演化的稳定性。
🔬
BSSN
Conformal traceless decomposition
⚖
Z4c
Constraint damping formulation
⚡
BSSN-EM
Coupled electromagnetic field
🌎
BSSN-EScalar
F(R) gravitational scalar field